입체각이란?

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소요유 (2002-09-26 09:02:19)

흠~ 그 동네에서도 나오는 모양이군요. 입체각을 이해하기 위해서는 빛을 예로드는 것이 편리합니다. 랜턴을 안개낀 날 밤에 비추면 빛의 세기는 거리에 따라 제곱분에 일로 감소합니다. 그러나 그 렌턴으로부터 나온 빛이 일정거리에서 차지하는 면적은 거리의 제곱에 비례하여 넓어집니다. 이때 변하지 않는 양은 (빛의 흡수가 없다면) 빛의 총에너지량과 또하나가 랜턴에서 나오는 빛이 만드는 원뿔의 각도입니다. 즉 이 빛원뿔을 따라가다 보면 거리에 따라 퍼지는 정도, 즉 단위면적당 빛의 에너지는 거리의 제곱에 반비레하지만, 이 빛이 통과하는 표면의 넓이는 거리의 제곱에 비례하여 커집니다.

소요유 (2002-09-26 09:07:51)

따라서 빛과 같이 직진성을 갖는 양의 3차원적인 '방사'는 이 빛원뿔 내부의 각도로 나타내면 편리하게 됩니다. 이 '원뿔'의 각도를 입체각으로 정의하게됩니다. 입체각은 위에 설명하였듯이 거리에 따라 변하지 않는 양으로 정의하게 됩니다. 즉 차원이 없는 양이됩니다. 입체각= (어느거리에서의 면적)/(거리의 제곱).

소요유 (2002-09-26 09:09:43)

반지름이 R인 구의 표면의 면적은 4 pi R^2이되므로 구의 입체각 = 4 pi R^2 / R^2 = 4 pi (steradian) 이 됩니다.

천칠이 (2002-09-26 09:31:02)

간혹 기존의 개념과 비교해서 생각하면 도움이 되는 경우도 있죠. 평면각을 생각해보시기 바랍니다. 원에서 부채꼴을 하나 조각내서 떼어왔다고 보면 그 중심각이 우리가 부르는 평면각과 마찬가지이죠. 이 평면각은 호의 길이에 비례하므로 우리가 라디안이라고 부르는 단위가 쓰입니다. 입체각은 말그대로 이것을 입체로 확대시킨 개념입니다. 구에서 "원뿔" 모양을 잘라냈다고 봤을 때 그 중심의 "입체각"은 곧 구면 원뿔의 면적과 비례합니다. 그래서 이 면적을 가지고 스테라디안이라고 하면서 입체각의 단위로 쓰죠.

* 또 다른 설명

  

**공간에서 O를 한 끝점으로 하는 사선(射線:ray) OA가 O의 둘레를 회전하여 처음의 위치로 되돌아올 때, 그려진 도형을 입체각이라 하며 O를 꼭지점이라 한다. 이 경우 입체각의 크기는 O를 중심으로 하여 반지름 1인 구(球)가 이 입체각의 변과 만나서 이루어지며, 구면 위의 도형 S의 넓이로 측정된다.

S의 넓이가 1일 때, 이 입체각을 1sr(스테라디안:steradian)이라고 한다. 이것이 입체각의 단위이며, 평면의 경우의rad(라디안:radian)의 정의를 구면 위로 확장한 것이라고 할 수 있다. 또 전 구면의 중심점에 대한 입체각의 1/(4π)이 1sr이 된다.

네이버 백과사전에서 퍼왔는데 설명이 어렵네.... 쩝

반지름이 r 인 원의 원주의 길이가 2πr이므로 1 rad = 1/2π 이고 (원주 길이/반지름 길이)

반지름이 r 인 구의 겉넓이가 4πr^2 이무로 1 sr = 1/4π 이다. (겉넓이/반지름의 제곱)

**스테라디안(steradian)은 한 공의 표면에서 그 공의 반지름의 제곱과 같은 넓이의 표면을 자르고 그 꼭지점이 공의 중심에 있는 입체각이다.

즉, 공의 반경의 제곱과 같은 넓이를 가진 공의 표면에 대한 중심 입체각이다.

→ 공의 전 표면적은 반지름의 제곱의 4π배이므로 전체 공의 입체각은 4π sr이 된다.

W = A / r²

Other than the diagram might suggest, the shape of the area doesn't matter at all. Any shape on the surface of the sphere that holds the same area will define a solid angle of the same size.

Also, the diagram only shows the elements that define a solid angle, not the solid angle itself. The solid angle is the quantitative aspect of the conical slice of space, that has the center of the sphere as its peak, the area on the surface of the sphere as one of its spherical cross sections, and extends to infinity.

The maximum solid angle is ~12.57, corresponding to the full area of the unit sphere, which is 4*Pi.

Standard unit of a solid angle is the Steradian (sr).

(Mathematically, the solid angle is unitless, but for practical reasons, the steradian is assigned.)

좀 더 쉽게 계산하여 표현하면

solid angle은 면적/r^2 입니다.

spherical coordinate에서 미소 solid angle은 다음과 같습니다.

dΩ = sinθ dθ dφ

입니다. 원하는 θ와 φ 범위에 대해 적분하면 solid angle을 구할 수 있습니다.

원하시는 답변일지 모르겠지만..

예를 들어 벌어진 각도가 2θ 인 구 표면이 만드는 solid angle을 계산하면

다음과 같습니다.

편의상, 구의 반지름을 r 이라 하죠,

spherical coordinate에서 구 표면의 중심을 z 축으로 잡으면

면적은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

면적

= ∫(0,θ) r dθ ∫(0,2pi)dφ rsinθ

= 2*π*r^2*(1-cosθ)

입니다.

표면적 = 2*π*r^2*(1-cosθ)

따라서 solid angle = 표면적/r^2 = 2*π*(1-cosθ) 입니다

[출처] 입체각 (solid angle)|작성자 sopp

참조 : http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=sopp79&logNo=60024300862